Définition

\(\triangleright\) Définition : Somme Directe

Soient \(V_1\) et \( V_2\) deux espaces vectoriels sur un corps \(\mathbb{K}\) (réel \(\mathbb{R}\) ou complexe \(\mathbb{C}\)). La somme directe de \(V_1\) et \(V_2\), notée \(V_1 \oplus V_2\), est l'espace vectoriel formé par l'ensemble des couples \((v_1, v_2)\), où \(v_1 \in V_1\) et \(v_2 \in V_2\), muni des opérations suivantes :

• Addition :

$$
(v1, v2) + (w1, w2) = (v1 + w1, v2 + w2),
$$
pour tous \(v_1, w_1 \in V_1\) et \(v_2, w_2 \in V_2\).

• Multiplication par un scalaire :

>$$
\alpha \cdot (v1, v2) = (\alpha v1, \alpha v2)$$
pour tout \(\alpha \in \mathbb{K}\) et \(v_1 \in V_1, v_2 \in V_2\).

Propriétés

1. Tout élément de \(V_1 \oplus V_2\) peut s'écrire de manière unique sous la forme \((v_1, v_2)\).
2. La dimension de \(V_1 \oplus V_2\) est la somme des dimensions de \(V_1\) et \(V_2\) :

$$
\operatornamedim(V1 \oplus V2) = \operatornamedim(V1) + \operatornamedim(V2).
$$

Exemple

Si \(V_1 = \mathbb{R}^2\) et \(V_2 = \mathbb{R}^3\), alors :
$$
V1 \oplus V2 = \mathbbR^2 \oplus \mathbbR^3 \cong \mathbbR^5.
$$

Somme Directe de Sous-Espaces

Pour deux sous-espaces \(U\) et \(W\) d'un espace vectoriel \(V\), la somme directe \(U \oplus W\) signifie que :
$$
U \cap W = \0\,
$$
Et chaque vecteur \(v \in U + W\) peut s'écrire de manière unique sous la forme \(v = u + w\) avec \(u \in U\) et \(w \in W\).